निम्नलिखित अवकल समीकरण को हल करें|
`x^(2)(dy)/(dx) =2xy + y^(2)`

Explanation

दिया गया अवकल समीकरण है: `x^(2)(dy)/(dx) = 2xy + y^(2)`
या, `(dy)/(dx) = (2xy + y^(2))/(x^(2))` ..........(1)
यह समघातीय अवकल समीकरण (Homogenous differential equation) है|
`v=vx` रखें, तो `(dy)/(dx) =(v.1+x(dv)/dx)`
अब अवकल समीकरण (1) हो जाता है,
`v+x(dv)/(dx) = (2x(vx)+(vx)^(2))/(x^(2)) = 2v+ v^(2)`
`rArr x(dv)/(dx) = v + v^(2) rArr (dv)/(v+v^(2)) = (dx)/x`
`rArr (dv)/(v(1+v)) = (dx)/x`
`therefore int[1/v - 1/(1+v)]dv = int (dx)/x + c'`
`rArr log|v| - log|1+v|= log|x| + log k`
`rArr |v/(1+v)| = k|x| rArr y/(x+y) = +-kx [therefore v=y/x]`
या `y=cx(x+y)`, जहाँ `c=+-k`
यदि दिए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है|