निम्नलिखित प्रारंभिक मान समस्या को हल करें|
`2x^(2)(dy)/(dx) - 2xy + y^(2) =0, y(e) =e`

Explanation

दिया गया अवकल समीकरण है: `2x^(2) (dy)/(dx) -2xy +y^(2)=0`
`rArr 2x^(2) (dy)/(dx) = 2xy -y^(2) rArr (dy)/(dx) = (2xy - y^(2))/(2x^(2))`
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है|
`y=vx` रखें, तो `(dy)/(dx) = v+x (dv)/(dx)`
अब अवकल समीकरण (1) हो जाता है,
`v+x (dv)/(dx) =(2x(vx)-(vx)^(2))/(2x^(2)) = (2v-v^(2))/2 = v-1/2 v^(2)`
`rArr x(dv)/(dx) = -1/2v^(2) rArr (dv)/v^(2) +1/2 (dx)/x=0`
दोनों तरफ Integrate करने पर हमें मिलता है,
`-1/v + 1/2 log |x| = c rArr -x/y + 1/2 log |x| =c`..........(2)
चूँकि `y(e)=e therefore` जब `x=e, y=e`
`therefore -e/e + 1/2 log e = c rArr -1+1/2 =c rArr c = -1/2`
अतः समीकरण (2) हो जाता है,
`-x/y + 1/2 log |x| = -1/2 rArr 1/2(log |x| +1) = x/y`
`rArr y loge |x|=2x`...........`[1 =log e]`
यदि दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है|