हल करें: `(dy)/(dx) -2y = cos 3x`

Explanation

दिया गया अवकल समीकरण है: `(dy)/(dx) - 2y= cos 3x`.............(1)
यह `(dy)/(dx) + Py =Q` के रूप का रैखिक अवकल समीकरण है,
जहाँ, `P=-2` तथा `Q=cos 3x` अब `I.E. =e^(int Pdx) = e^(int-2 dx) = e^(-2x)`
`therefore` दिए गए अवकल समीकरण का हल होगा,
`y xx I.F. {(Q xx (I.F.)}dx +C`...........(2)
माना की, `I = int e^(-2x) cos 3x dx`
तो, `I =e^(-2x) . (sin 3x)/3 + 2 int e^(-2x) .(sin 3x)/3 dx` [खंडश: विधि से समाकलन करने पर]
`=1/3 e^(-2x) sin 3x 2/3 int e^(-2x) sin 3x dx`
`=1/3 e^(-2x) sin 3x +2/3 [e^(-2x) sin 3x dx`
`=1/3 e^(-2x) sin 3x +2/3 [e^(-2x) (-cos 3x))/(3) + 2 int e^(-2x) (-cos 3x)/3 dx` [खंडश: विधि से समाकलन करने पर]
`=1/3 e^(-2x) sin3x -2/9 e^(-2x) cos 3x - 4/9 int e^(-2x) cos 3x dx`
`=1/3 e^(-2x) sin 3x -2/9 e^(-2x) cos 3x -4/9 I`
`therefore (13/9) I = 1/3 e^(-2x) sin 3x -2/ e^(-2x) cos 3x`
`rArr I=(3(e^(-2x) sin 3x))/(13) - (2(e^(-2x) cos 3x))/(13) +C`
या, `y=(3 sin 3x - 2 cos 3x)/(13) +Ce^(2x)`
यदि दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है|