हल करें: `(dy)/(dx) -3y cot x = sin 2x` यदि यह दिया है की `y=2` जब `x=pi/2`:

Explanation

दिया गया अवकल समीकरण है: `(dy)/(dx) -3y cot x = sin 2x`.........(1)
यह `(dy)/(dx) + Py =Q` के रूप का रैखिक अवकल समीकरण है,
जहाँ, `P=-3cotx` तथा `Q=sin 2x`
अब I.F. `=e^(int Pdx) = e^(int -3 cotx dx) = e^(log(sinx)^(-3)) = 1/(sin^(3)x)`
`therefore` दिए गए अवकल समीकरण का हल होगा,
`y xx I.F. = int {Q xx (I.F.)} dx +C`
या, `y/(sin^(3)x) = 2 int(cos x)/(sin^(2)x) dx +C`
`=2int 1/t^(2) dt +C`, जहाँ, `sinx =t`
`=-2/t + C = -2/(sin x) +C`
इस प्रकार, `y=-2 sin^(2)x +C sin^(3)x`.........(2)
दिया है: `y=2` जब `x=pi//2`
(2) में, `x=pi/2` तथा `y=2` रखने पर हमें मिलता है, `2 =-2 +C rArr C=4`
अतः `y=-2 sin^(2)x + 4 sin^(3)x`
यदि दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है|