मूल बिंदु से गंजरने वाले एक वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिंदु `(x,y)` पर स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिंदु के निर्देशांकों के योग के बराबर है।

Explanation

प्रश्न से बिंदु `P(x,y)` पर स्पर्श रेखा की ढाल `=P` के निर्देशांकों का योगफल
`:.(dy)/(dx)=x+yimplies(dy)/(dx)-y=x`……………….1
यह `(dy)/(dx)+Py=Q` के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है
जहा `P=-1` तथा `Q=x`
अब I.F (समाकलन गुणांक) `e^(intPdx)=e^(-intdx)=e^(-x)`
`:.` समीकरण 1का हल होगा,
`y.(IF)=intQ(I.F).dx+C` या `ye^(-x)=intxe^(-x)dx+C`
या `ye^(-x)=-xe^(-x)-int1.(-e^(-x))dx+c=-xe^(-x)+inte^(-x) dx+C`
`:.=-xe^(-x)-e^(-x)+C`
या `y=-x-1+Ce^(x)`………..2
चूंकि वक्र 2 बिंदु (0,0) से गुजरती है
`:.0=-1+CimpliesC=1`
2 से अभीष्ट वक्र का समीकरण है `y=-x+1+e^(x)`