किसी गांव की जनसंख्या की वृद्धि की दर किसी भी समय उस गांव के निवासियों की संख्या के समानुपाती है। यदि सन् 1999 में गांव की जनसंख्या 20,000 थी और सन् 2004 में 25,000 थी तो ज्ञात कीजिए कि सन् 2009 में गांव की जनसंख्या क्या होगी?

Explanation

माना कि किसी समय `t` पर गांव की जनसंख्या `p` है।
प्रश्न से `(dp)/(dt)=kp` [ `:'t` समय पर निवासियों की संख्या `=p`]
`implies(dp)/p=kdt impliesint(dp)/p=k intdt`
`implieslog_(e)p=kt+C` ………….1
दिया है: जब `t=1999, p=20000` तथा जब `t=2004,p=25000`
`:.(1)` से `log20000=1999k+C`………….2
तथा `log25000=2004k+C`………3
अब `3-2implieslog25000-log20000=5k`
`implieslog(25000/20000)=5kimplieslog(5/4)=5k`………………4
माना कि 2009 में गांव की जनसंख्या `p’` है।
तो 1 से `logp’=2009t+C`………5
अब `5-2implieslog((p’)/20000)=10k`
`implieslog((p’)/2000-0)=2log(5/4)` [4 से]
`implieslog((p’)/20000)=log(5/4)^(2)=log(25/16)implies(p’)/20000=25/16`
`impliesp’-20000xx25/16=1250xx25=31=31,250`
अतः 2008 में गांव की जनसंख्या `=31,250`