निम्नलिखित रेखाओं के बीच कि न्यूनतम दुरी तथा इसका सदिश समीकरण ज्ञात करें|
`vecr = 3hati + 8hatj + 3hatk +lambda(3hati -hatj +hatk)`
तथा `vecr = -3hati - 7hatj + 6hatk +mu(-3hati + 2hatj + 4hatk)`

Explanation

दी गई रेखाएँ हैं, `vecr = 3hati + 8hatj + 3hatk + lambda (3hati - hatj + hatk)`............(1)
तथा `vecr = -3hati - 7hatj + 6hatk + mu(-3hati +2hatj + 4hatk)`............(2)
रेखाओं (1) तथा (2) के समीकरण कार्तीय रूप में हैं,

`AB: (x-3)/3 = (y-8)/-1 = (z-3)/1 lambda`.......(3)
तथा `CD:(x+3)/-3 = (y+7)/2 = (z-6)/4 = mu` ............(4)
माना कि `L -= (3lambda + 3, -lambda + 8, lambda+3)`
LM के direction ratios हैं, `3lambda + 3mu +6, -lambda - 2mu +15, lambda-4mu -3` चूँकि `LM bot AB`
`therefore 3(3lambda + 3mu + 6) -1(-lambda - 2mu+15) +1 (lambda-4mu -3)=0`
or `11lambda + 7mu =0` ..............(5)
`LM bot CD`
`therefore -3(3lambda + 3mu + 6)-1(-lambda -2 mu + 15) +1 (lambda-4mu -3)=0`
or `-7lambda - 29mu=0`...................(6)
(5) तथा (6) को हल करने पर हमे मिलता हैं,
`lambda=0, mu=0`
`therefore L-= (3,8,3), M -= (-3,-7,6)`
अतः अभीष्ट न्यूनतम दुरी, `LM =sqrt((3+3)^(2) + (8+7)^(2) + (3-6)^(2))`
`= sqrt(270)= 3sqrt(30)` इकाई
LM का सदिश समीकरण हैं, `vecr = 3hati + 8hatj + 3hatk + t(6hati + 15hatj - 3hatk)`