एक महाविद्यालय में फुटबॉल के लिए `38`, बॉस्केट बॉल के लिए `15` और क्रिकेट के लिए `20` पदक प्रदान किये गए। यदि ये पदक कुल `58` लोगों को मिले और केवल तीन लोगों को तीनों खेलों के लिए मिले, तो कितने लोगों को तीन में से ठीक-ठीक दो खेलों के लिए मिले?

Options

A. 8
B. 9
C. 10
D. 11

Answer

B

Explanation

माना की `A ` फुटबॉल में पदक पाने वाले लोगों का समुच्चय
B = बॉस्केट ball में पदक पाने वाले लोगों का समुच्चय
C = क्रिकेट में पदक पाने वाले लोगों का समुच्चय
प्रश्न से, `n(A)=38, n (B)=15, n(C)=20`.
`n(A uu B uu C)=58` और `n(A nn B nn C)=3`
हम जानते हैं की A, B, C तीन समुच्चयों में से ठीक-ठीक दो में अवयवों की संख्या
`=n (A nn B)+n (B nn C)+n (A nn C)-3 n (A nn B nn C)`
`=n (A nn B)+n (B nn C)+n (A nn C)-9` ...(1)
`n(A uu B uu C)=n (A) +n(B)+n(C)-n (A nn B)-n (B nn C)-n (A nn C)+n (A nn B nn C)`
`:. n (A nn B)+n (B nn C)+n (A nn C)`
`=n(A)+n(B)+n(C)+n(A nn B nn C)-n (A uu B uu C)`
(1) से, अभीष्ट संख्या
`=n(A) +n(B) +n (C) +n (A nn B nn C)-n (A uu B uu C)-9`
`=38+15+20+3-58-9=9`
Second method : बगल में दिखाए गए वेन आरेख पर विचार करते हैं:
माना की `a =` केवल फुटबॉल और बॉस्केट बॉल में पदक पाने वाले लोगों की संख्या
`b =` केवल फुटबॉल और क्रिकेट में पदक पाने वाले लोगों की संख्या `c =` केवल बॉस्केट बॉल और क्रिकेट में पदक पाने वालों की संख्या
`d =` तीनों खेलों फुटबॉल बॉस्केट बॉल और क्रिकेट में पदक पाने वाले लोगों की संख्या
प्रश्न से, `n(A uu B uu C)=58, n(A)=38, n(B)=15, n(C) =20`,
`n(A nn B nn C)=d=3`.
अब, `n(A uu B uu C)=n(A)+n(B)+n(C)-n (A nn B)-n (B nn C)-n (A nn C)+n(A nn B nn C)`
`:. 58 = 38+15+20-n (A nn B)-n (B nn C)-n (A nn C)+3`
`implies n (A nn B)+n (B nn C)+n (A nn C)=18`
`implies a+d+c+d+b+d=18`
`implies a+b+c=18-3d=18-3xx3=9`.
`implies` तीन खेलों में से ठीक-ठीक दो में पदक पाने वालों की संख्या `= 9`.