निम्न समीकरणों के मुख्य हल ज्ञात कीजिए -
`"cosec "theta=-2`

Explanation

दिया गया समीकरण है `tan x=sqrt(3)`
x का मुख्य मान :
`tan x=sqrt(3)`
`rArr x=pi//3 " "`[ 0 तथा `pi//2` के बीच का मान ]
`:. alpha=pi//3`
अब चूँकि `tanx` का मान धनात्मक है इसलिए x पहले या तीसरे पाद मे होगा अतः x का मुख्य मान `=alpha` तथा `pi+alpha=(pi)/(3)` तथा `pi+(pi)/(3)=(pi)/(3)` तथा `(4pi)/(3)x` का व्यापक मान :
`tan x= "tan" (pi)/(3)`
`:.n=npi+(pi)/(3)` जहाँ `n in Z`
Note : `(pi)/(3)x` का ऐसा मान है जिसके लिए `tan x=sqrt(3)` का कोई भी अन्य मान लेकर भी हल निकला जा सकता है जिसके लिए `tanx=sqrt(3)` जैसे `x=(4pi)/(3)` । इस तरह से प्राप्त हल होगा `x=npi+(4pi)/(3), n in Z` यद्यपि यह हल स्वरूप में भिन्न दिखाई दे रहा है । लेकिन n के मानों को रखने पर x के वही सभी मान मिलेंगे जो `x=n pi+(pi)/(3), nin Z` में मिलेंगे।
(ii) प्रश्न से `"cosec"=-2`
x का मुख्य मान:
दाहिने तरफ का अचर ऋणात्मक है। अतः हम समीकरण
`"cosecx"=|-2|` अथार्त `"cosec"x=2` लेते है।
अब `"cosecx"=2` तो `x=(pi)/(6)` (0तथा `(pi)/(2)` के बीच का मान)
`:. alpha=(pi)/(6)`
पुनः चूँकि `"cosecx"=-2` जो की ऋणात्मक x तीसरे या चौथे पाद में होगा।
`:.` x का मुख्य मान `=pi+alpha` तथा `2pi-alpha`
`=pi+(pi)/(6)` तथा `2pi-(pi)/(6)=(7pi)/(6)` तथा `(11pi)/(6)`
x का व्यापक मान
`"cosecx"=-2"cosec"(7x)/(6) rArr sin x="sin" (7pi)/(6)`
`rArr x= npi+(-1)^(n)(7n)/(6), n in Z`.
अतः का व्यापक मान `=npi+(-1)^(n)(7pi)/(6), n in Z`