किसी `triangleABC` में सिद्ध करें कि
`a^(3)sin(B-C) +b^(3)sin(C-A) +c^(3)sin(A-B) = 0`

Explanation

बायाँ पक्ष का पहला पद ` = a^(3) sin(B-C)`
` = k^(3)sin^(2)Asin(B-C) = k^(3)sin^(2)AsinAsin(B-C)`
` = k^(3)sin^(2)Asin(B+C) sin(B-C) [because A+B +C = 180^(@)]`
` = k^(3)sin^(2)A(sin^(2)B-sin^(2)C)`
` = k^(3)sin^(2)A sin^(2)B - k^(3)sin^(2)sin^(2)C " "...(1)`
बायाँ पक्ष का दूसरा पद ` = b^(3)sin(C-A) = k^(3)sin^(3)Bsin(C-A)`
` = k^(3)sin^(2)BsinBsin(C-A) = k^(3)sin^(2)Bsin(C+A) sin(C-A)`
` = k^(3)sin^(2)B(sin^(2)C-sin^(2)A) = k^(3)sin^(2)Bsin^(2)C-k^(3)sin^(2)B.sin^(2)A " "...(2)` बायाँ पक्ष का तीसरा पद ` = c^(3)(sin(A-B) = k^(3)sin^(3)C sin(A-B)`
` = k^(3)sin^(2)CsinCsin(A-B) = k^(3)sin^(2)Csin(A+B) sin(A-B)`
` - k^(3)sin^(2)C(sin^(2)A-sin^(2)B) = k^(3)sin^(2)Csin^(2)A-k^(2)sin^(2)Csin^(2)B " "...(3)`
(1),(2) और (3) को जोड़ने पर,
`a^(3)sin(B-C) +b^(3)sin(C-A)+c^(3)sin(A-B)`
`=k^(3)sin^(2)Asin^(2)B - k^(3)sin^(2)Asin^(2)C + k^(3)sin^(2)Bsin^(2)C`
` -k^(3)sin^(2)Bsin^(2)A + k^(3)sin^(2)Csin^(2)A - k^(3)sin^(2)Csin^(2)B = 0`