किसी त्रिभुज ABC में `atanA + btanB = (a+b) tan""(A+B)/(2)` तो सिद्ध करें कि त्रिभुज समद्विबाहु होगा |

Explanation

प्रश्न से, `atanA + btanB = (a+b) tan""(A+B)/(2)`
`therefore atanA + btanB = atan""(A+B)/(2) btan ""(A+B)/(2)`
या, `atanA - atan""(A+B)/(2) = btan""(A+B)/(2) = btanB`
या, `a{(sinA)/(cosA)-(sin""(A+B)/(2))/(cos""(A+B)/(2))} = b{(sin""(A+B)/(2))/(cos""(A+B)/(2))-(sin B)/(cosB)}`
या, `a {(sinA.cos""(A+B)/(2)-cosB-cos""(A+B)/(2)sinB)/(cos""(A+B)/(2)cosB)}`
या, `(asin(A-(A+B)/(2)))/(cosA) = (bsin((A+B)/(2)-B))/(cosB)`
`[because A+B ne180^(@) thereforecos""(A+B)/(2)ne0]`
या, `(asin""(A-B)/(2))/(cosA) -(bsin""(A-B)/(2))/(cosB) = 0`
या, `sin""(A-B)/(2) {(a)/(cosA) -(b)/(cosB)} = 0`
`therefore sin""(A-B)/(2) = 0` या, `(a)/(cosA) - (b)/(cosB) = 0`
यदि `sin""(A-B)/(2) = 0` तो `(A-B)/(2) = 0 therefore A = B`
यदि `(a)/(cosA) - (b)/(cosB) = 0` तो `(ksinA)/(cosA) = (ksinB)/(cosB)`
या, `tanA = tanB` या, `A = B`
दोनों स्थितियों में `A =B`, अतः `triangleABC` समद्विबाहु त्रिभुज है |