यदि `triangleABC` में `(a^(2)+b^(2))/(a^(2)-b^(2)) = (sin(A+B))/(sin(A-B))` तो त्रिभुज या तो समकोण होगा या समद्विबाहु |

Explanation

प्रश्न से, `(a^(2)+b^(2))/(a^(2)-b^(2)) = (sin(A+B))/(sin(A-B))`
`therefore (a^(2)+b^(2)+a^(2)-b^(2))/(c^(2)+b^(2)-a^(2)+b^(2)) =(sin(A+B)+sin(A-B))/(sin(A+B) -sin(A-B))`
[componendo और dividendo से]
या, `(a^(2))/(b^(2)) = (2sinAcosB)/(2cosAsinB) ` या, `(k^(2)sin^(2)A)/(k^(2)sin^(2)A) = (2sinAcosB)/(2cosAsinB) ` या, `(sinA)/(sinB) = (cosB)/(cosA)`
या, `sinAcosA = sinBcosB " "[because sinA ne 0, sinB ne 0]`
या, `sinAcosA = 2sinBcosB` या, `2sinA - sin2B = 0`
या, `2cos(A+B) sin(A-B) = 0`
`therefore cos(A+B) = 0` या, `sin(A-B) = 0`
जब `cos(A+B) = 0` तो `A + B = 90^(@)`
`therefore C = 180^(@) - 90^(@) = 90^(@)" "...(1)`
जब `sin(A-B) = 0`तो `A - B = 0 therefore A = B " "...(2)`
(1) और (2) से या तो त्रिभुज समकोण होगा या समद्विबाहु |
नोट : `sin2A = sin2B rArr 2A = 2B` या, `2A = 180^(@) - 2B`
`rArr A = B` या, `A + B = 90^(@) rArr A = B` या, `C = 90^(@)`