किसी त्रिभुज ABC में यदि `8R^(2) = a^(2) + b^(2) + c^(2)` तो साबित करे कि त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है |

Explanation

`because (a)/(sinA) = (b)/(sinB) = (c)/(sinC) = 2R`
`therefore a = 2R sinA, b = 2RsinB, 2R sinC`
प्रश्नानुसार, `8R^(2) = a^(2) + b^(2) + c^(2)`
या, `8R^(2) = 4R^(2)[sin^(2)A + sin^(2)B + sin^(2)C]`
या, `2 = sin^(2)A + sin^(2) B + sin^(2)C`
या, `(1-sin^(2)A) + (1-sin^(2)B) - sin^(2) C = 0`
या, `cos^(2)A =c so^(2)B - sin^(2)C = 0`
या, `cos^(2)A + cos(B +C) cos(B-C) = 0`
`[because cos^(2)B - sin^(2)C = cosC = cos(B+C) cos(B-C)]`
या, `cos^(2)A =cos(pi-A) cos(B-C) = 0`
या, `cosA [cosA -cos(B-C)] = 0`
या, `cosA[-cosA(B+C) -cos(B-C)] = 0 [because A = pi-(B+C)]`
या, `cosA[cos(B+C) + cos(B-C) ] = 0`
या, `cosA. 2cosB .cosC = 0` या, `cosA. cosB. cosC = 0`
यदि `cosA = 0, A = 90^(@)`
यदि `cosC = 0 C = 90^(@)`
लेकिन किसी त्रिभुज में एक से ज्यादा कोण `90^(@)` नहीं हो सकता, A, B, C में से कोई एक ही कोण समकोण होगा | अतः त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है |