गणितीय आगमन के सिद्धांत के अनुसार `1^(3)+2^(3)+3^(3)+…..+n^(3)` बराबर है :

Options

A. `(n(n+1)(n+2))/(6)`
B. `[(n(n+1))/2]^(2)`
C. `[(n(n+1))/2]^(3)`
D. इनमे से कोई नहीं

Answer

B

Explanation

माना कि `P(n):1^(3)+2^(3)+………..+n^(3)=[(n(n+1))/2]^(2)`
Step I. जब `n=1,L.H.S.=1^(3)=1 [ :' n=1` होने पर L.H.S में एक पद होगा]
तथा R.H.S`=[(1(1+1))/2]^(2)=1`
`:.` L.H.S `=` R.H.S अतः `P(1)` सत्य है…………A
Step II. माना कि `P(m)` सत्य है तो
`1^(3)+2^(3)+3^(3)+……….+m^(3)=[(m(m+1))/2]^(2)`……1
साबित करना है `P(m+1)` सत्य है अर्थात
`1^(3)+2^(3)+………+m^(3)+(m+1)^(3)=[((m+1)(m+2))/2]^(2)` …….2
1 के दोनों तरफ `(m+1)^(3)` जोड़ने पर
`1^(3)+2^(3)+3^(3)+…..=m^(3)+(m+1)^(3)=(m^(2)(m+1)^(2))/4+(m+1)^(3)`
`=(m+1)^(2)((m^(2))/4+m+1)=(m+1)^(2)((m^(2)+4m+4))/4`
`=((m+1)^(2)(m+2)^(2))/4=[((m+1)(m+2))/2]^(2)` ……….3
अतः `P(m)` सत्य होने पर `P(m+1)` भी सत्य होगा …………B
A और B से आगमन सिद्धांत से `P(n)` सभी प्राकृत संख्याओं `n` के लिए सत्य है।