गणितीय आगमन सिद्धांत से साबित कीजिए कि
`1.3+2.3^(2)+3.3^(3)+…….+n.3^(n)=((2n-1)3^(n+1)+3)/4`

Explanation

माना कि `P(n):1.3+2.3^(2)+3.3^(2)+………+n.3^(n)=((2n-1)3^(n+1)+3)/4`
Step I. जब `n=1` L.H.S `=1.3=3`
तथा `R.H.S=((2n-1)3^(n-1)+3)/4=((2.1-1)3^(2)+3)/4=12/4=3`
अतः `P(1)` सत्य है …….A
माना कि `P(m)` सत्य है तो
`1.3+2.3^(2)+3.3^(3)+…….+m.3^(m)=((2m-1)3^(m+1)+3)/4`…1
साबित करना है कि `P(m+1)` सत्य है अर्थात
`1.3+2.3^(2)+…..+m`
`1.3+2.3^(2)+…..+m.3^(m)+(m+1).3^(m+1)=((2m+1)3^(m+2)+3)/4`…..2
1 के दोनों तरफ `(m+1)3^(m+1)` जोड़ने पर
`1.3+2.3+…+m
`1.3+2.3+…+m.3^(m)+(m+1)3^(m+1)`
`=((2m-1)3^(m+1)+3)/4+(m+1)3^(m+1)`
`=({(2m-1)3^(m+1)+4(m+1)3^(m+1)+3})/4`
`=(3^(m+1)(2m-1+4m+4)+3)/4=((2m+1)3^(m+2)+3)/4`….3
`:.P(m)` सत्य होने पर `P(m+1)` भी सत्य होगा ………B
अतः A और B से आगमन सिद्धांत से सभी प्राकृत संख्या `n` के लिए `P(n)` सत्य है।