गणितीय आगमन के सिद्धांत के प्रयोग से सिद्ध कीजिए कि `2*7^(n) + 3*5^(n) - 5`, प्रत्येक `n gt0 ` के लिए 24 से विभाज्य है।

Explanation

माना कि `f(n)=2.7^(n)+3.5^(n)-5`.
माना कि `P(n):f(n)` अर्थात `2.7^(n)+3.5^(n)-5,24` से विभाज्य है।
अब `f(1)=14+15-5=24` जो 4 से विभाज्य है।
`:.P(1)`सत्य है।……A
माना कि `P(m)` सत्य है `impliesf(m)` अर्थात `2.7^(n)+3.5^(m)-5,24` से विभाज्य है
`=f(m)=24r` जहां `r` एक पूर्णांक है……1
अब`f(m+1)=2.7^(m+1)+3.5^(m+1)-5=14.6^(m)+15.5^(m)-5`
`{:(14.7^(m)+21.5^(m)-35),(-" "-" "+),(bar(" "-6.5^(m)+30" ")):}`
`:.f(m+1)=7.f(m)-6(5^(m)-5)`…..2
`=7f(m)-6xx5(5^(m-1)-1)`
`=7f(m)-6xx5(5^(m-1)-1^(m-1))` ……3
चूंकि सभी अऋणात्मकिं पूर्णांकों `n` के लिए `a^(n)-b^(n),a-b` से विभाज्य है।
`:.` सभी `m epsilon N` के लिए`5^(m-1)-1^(m-1)(5-1)` अर्थात 4 से विभाज्य है
`:.` 3 से `f(m+1),24` से विभाज्य है
अतः `P(m)` सत्य होने पर `P(m+1)` सत्य होगा ……b
A तथा B से गणितीय आगमन सिद्धांत से सभी प्राकृत संख्याओं `n` के लिए `P(n)` सत्य है।