यदि p एक प्राकृतिक संख्या है , तो सिद्ध कीजिए कि `p^(n+1) + (p+1)^(2n - 1)` , प्रत्येक धन पूर्णांक n के लिए `p^(2) + p + 1` से विभाज्य है।

Explanation

माना कि `f(n)=p^(n+1)+(p+1)^(2n-1)`
माना कि `Q(n):f(n)` अर्थात `p^(n+1)+(p+1)^(2n-1),p^(2)+p+1` से विभाज्य है।
अब `f(1)=p^(2)+(p+1)^(1)=p^(2)+p+1` जो कि `p^(2)+p+1` से विभाज्य है।
अतः `Q(1)` सत्य है ……….A
माना कि `Q(m)` सत्य है तो
`f(m)` अर्थात `p^(m+1)+(p+1)^(2m-1),p^(2)+p+1` से विभाज्य है ……….1
साबित करना है कि `Q(m+1)` सत्य है अर्थात `f(m+1).p^(2)+p+1` से विभाज्य है।
अब`f(m+1)=p^(m+2)+(p+1)^(2m+1)`
`=p.p^(m+1)+(p+1)^(2).p^(2m+1)`
अब हम `f(m+1)` में `f(m)` से भाग देते हैं
`:.f(m+1)=p.(m)+(p^(2)+p+1).p^(2m-1)`
जो कि `p^(2)+p+1` से विभाज्य है क्योंकि `f(m),p^(2)+p+1` से विभाज्य है तथा `(p^(2)+p+1)p^(2m-1)` भी `p^(2)+p+1` से विभाज्य है।
अतः `Q(m)` सत्य होने पर `Q(m+1)` भी सत्य होगा।………B
A और B से आगमन सिद्धांत से सभी प्राकृत संख्याओं `n` के लिए `Q(n)` सत्य है।
`{:(p.p^(m+1)+p.p^(2m-1)),(-" "-),(bar(""[(p+1)^(2)-p]p^(2m-1)" ")):}`