गणितीय आगमन सिद्धांत से दिखाइए कि
`1+2+3+……..+nlt 1/8(2n+1)^(2)`

Explanation

माना कि `P(n):1+2+3+..+nlt1/8 (n+1)^(2)`
जब `n=1` L.H.S `=1` तथा R.H.S `=1/8 . 3^(2)=9/8`
स्पष्टतया `1lt9/8 :. P(1)` सत्य है …..A
माना कि `P(m)` सत्य है `implies1+2+3+…….+mlt1/8 (2m+1)^(2)`………1
साबित करना है `P(m+1)` सत्य है
अर्थात `1+2+3+……+m+m+1 lt 1/8 (2m+3)^(2)=alpha` (माना) ……….2
1 से `1+2+3+…..+m+(m+1)lt1/8(2m+1)^(2)+(m+1)=beta` (माना)....3
अब `alpha- beta =1/8(2m+3)^(2)-1/8(2m+1)^(2)-(m+1)`
`=1/8 . 4(m+1).2-(m+1)`
`=0`
`:.alpha=beta` ………..4
3 से `1+2+3+…….+m+m+1lt alpha [ :' beta=alpha]`
या `1+2+3+…….+m+m+1lt 1.8 (2m+3)^(2)`
अतः`P(m+1)` सत्य है जब `P(m)` सत्य है …….B
A तथा B से गणितीय आगमन सिद्धांत से सभी प्राकृत संख्याओं `n` के लिए `P(n)` सत्य है।