गणितीय आगमन सिद्धांत से सिद्ध कीजिए कि `(2n+7 )lt (n +3 )^(2 ),AA n in N.`

Explanation

माना कि `P(n):(2n+7)lt(n+3)^(2)`
जब `n=1,` L.H.S `=2n+7=2+7=9` तथा R.H.S `=(n+3)^(2)=4^(2)=16`.
स्पष्टतया `9lt16:P(1)` सत्य है …………A
माना कि `P(m)` सत्य है `implies(2m+7)lt(m+3)^(2)` ………….1
साबित करना है कि `P(m+1)` सत्य है अर्थात `(2m+9)lt(m+4)^(2)=alpha` (माना) ……….2
1 से `2m+9lt(m+3)^(2)+2=beta` (माना) …………3
अब `beta-alpha=(m+3)^(2)+2-(m+4)^(2)=-(2m+5)lt0`
`:. betalt alpha`………..4
3 तथा 4 से `2m+9lt(m+4)^(2)`
अतः`P(m)` सत्य होने पर `P(m+1)` सत्य होगा। ………………..B
A तथा B से गणितीय आगमन सिद्धांत से सभी प्राकृत संख्याओं `n` के लिए `P(n)` सत्य है।