`xgt -1` के लिए सभी प्राकृत संख्याओं `n` के लिए साबित कीजिए कि
`(1+x)^(n)ge(1+nx)`

Explanation

माना कि `P(n):(1+x)^(n)ge(1+nx)` जहां `xgt-1`
जब `n=1` L.H.S `=(1+x)` तथा R.H.S `=(1+x)`
`:.` जब `n=1,(1+x)^(n)=1+nx`
अतः `(1+x)^(n)ge1+nx` सत्य है जब `n=1`
`:.P(1)` सत्य है ……….A
माना कि `P(m)` सत्य है `implies(1+x)^(m)ge(1+mx)`………1
साबित करना है कि `P(m+1)` सत्य है
अर्थात `(1+x)^(m+1)ge1+(m+1)x=alpha` (माना)…………2
1 से दोनों तरफ `(1+x)` से गुणा करने पर
`(1+x)^(m+1)ge(1+mx)(1+x)=beta` (माना)………3
अब`beta-alpha=(1+mx)(1+x)-1-(m+1)x`
`=1+mx+x+mx^(2)-1-mx-x=mx^(2)gt0`
`:. beta gt alpha`…………..4
3 तथा 4 से `(1+x)^(m+1)gt alpha`
`implies(1+x)^(m+1)ge1+(m+1)x.` [2 से]
अतः `P(m)` सत्य होने पर `P(m+1)` सत्य होगा। ………..B A तथा B से गणितीय आगमन सिद्धांत से सभी प्राकृत संख्याओं `n` के लिए `P(n)` सत्य है।