यदि `nge2` तो आगमन सिद्धांत से साबित करें कि `n^(4)lt10^(n)`

Explanation

माना कि,

`P(n):``n^(4)lt10^(n), nge2`

जब `n=2`, L.H.S `=2^(4)=16` तथा R.H.S`=10^(2)=100`

`:. 16 lt 100:.P(2)` सत्य है …….A

माना कि `P(m)` सत्य है तो `m^(4)lt 10^(m)`

अर्थात `10^(m)gtm^(4)`………..1

साबित करना है कि `P(m+1)` सत्य है अर्थात `(m+1)^(4)lt10^(m+1)` अर्थात

`10^(m+1)gt(m+1)^(4)``=alpha` (माना) ….2

अर्थात `10^(m+1)ge alpha`,

जहां `alpha=(m+1)^(4)`

समीकरण 1 के दोनों तरफ 10 से गुणा करने पर

`10^(m)*10gt10m^(4)`

`10^(m+1)gt10m^(4)``=beta` माना

अर्थात `10^(m+1)gtbeta`

जहां `beta=10m^(4)`……2
अब `(beta)/(alpha)``=(10m^(4))/((m+1)^(4))`

`(beta)/(alpha)``=10(m/(m+1))^(4)`………3

चूँकि ` mge2` `:. m+1ge3`

`implies1/(3)ge1/(m+1)`

`implies -1/(m+1)ge -1/3`

`implies1- 1/(m+1)ge 1-1/3`

`impliesm/(m+1)ge2/3`

`implies(m/(m+1))^(4)ge(2/3)^(4)`

`implies10(m/(m+1))^(4)ge 10 . 16/81 ge1`

`:.` 3 से `(beta)/(alpha) ge 1``=beta gt alpha` ….4

समीकरण 2 और 4 से

`10^(m+1)gt alpha`

अर्थात `10^(m+1)gt(m+1)^(4)`

`:.P(m)` सत्य होने पर `P(m+1)` सत्य होगा ……….B

समीकरण A और B से, आगमन सिद्धांत से सभी प्राकृत संख्याओं `nge2` के लिए `P(n)` सत्य है।