यदि n धनात्मक पूर्णांक हो तथा ` omega ` इकाई का अवास्तविक घनमूल हो तो साबित कीजिये कि |
(i) ` 1 + omega ^ n + omega ^ ( 2n ) = 3 `, जब `n , 3 ` का अपवर्त्य है |
(ii) ` 1 + omega ^ ( n ) + omega ^ ( 2n ) = 0 `, जब ` n, 3 ` का अपवर्त्य नहीं है |

Explanation

(i) Case I. जब n = 2m ( a multiple of 3 )
LHS = ` 1 + omega ^ n + omega ^( 2n ) = 1 + omega ^( 3m ) + omega ^( 6m ) = 1 + 1 + 1 = 3 `
Case II. जब ` n = 3m + 1 ` ( not a multiple of 3) ltbr LHS = ` 1 + omega ^n + omega ^ ( 2n ) = 1 + omega ^( 3m + 1 ) + omega ^( 6 m + 2 ) `
` = 1 + omega + omega ^ 2 = 0 `
Case III. When n = 3m + 2 ( not a multiple of 3 )
LHS = ` 1 + omega ^n + omega ^ (2n ) = 1 + omega ^( 3m + 2 ) + omega ^( 6m + 4 ) `
` = 1 + omega ^ 2 + omega ^ 4 = 1 + omega ^ 2 + omega = 0 `