यदि ` [If]|z| = 1, ` साबित कीजिये कि (prove that ) ` ( z - 1 ) /( z + 1 ) ( z ne - 1 ) ` एक विशुद्ध अवास्तविक संख्या है z =1 ?

Explanation

माना कि ` z = x +iy `
Given, ` |z| = 1 rArr |z|^ 2 = 1 rArr x ^ 2 + y^ 2 = 1 " " `...(1)
अब ` ( z- 1 ) /( z + 1 ) = ( x + iy - 1 ) /( x +iy + 1 ) = ( x -1 + iy )/( x + 1 + iy ) `
` = (( x - 1 + iy ) ( x + 1 - i y ) ) /( ( x + 1 + iy ) ( x + 1-iy ) )`
` = ( x ^ 2 - 1 + y^ 2 + iy ( x + 1 - x + 1 )) /( ( x + 1 ) ^ 2 + y^ 2 ) `
` = ( x ^ 2 + y ^ 2 - 1 ) /( ( x + 1 ) ^ 2 + y ^ 2 ) + i ( 2y ) /( ( x + 1 ) ^2 + y^ 2 ) `
` = i ( 2y ) /( ( x + 1 ) ^ 2 + y^ 2) " "[ because x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ]`
= विशुद्ध अवास्तविक संख्या
Second part :
यदि z = 1 तो ` ( z- 1 ) /( z + 1 ) = 0` , जो विशुद्ध वास्तविक तथा विशुद्ध अवास्तविक दोनों है |