यदि आरगैण्ड तल में किसी समबाहुए त्रिभुज के शीर्ष ` z _ 1 , z _ 2 , z _ 3 ` हो, तो साबित कीजिये कि
` z _ 1 ^ 2 + z _ 2 ^ 2 + z _ 3^ 2 = z _ 1 z _ 2 + z _ 2 z _ 3 + z _ 3 z _1 `

Explanation

माना कि ABC एक समबाहु त्रिभुज है जिसके शीर्ष A, B, C सम्मिश्र संख्या ` z _ 1, z _ 2, z _ 3 ` को निरूपित करते है |
A से BC पर लम्ब AO खींचा | चूँकि ` Delta ABC ` समबाहु है अतः O, BC का मध्य बिंदु होगा |
अब O को मूल बिंदु , OC को x अक्ष तथा OA को y - अक्ष माना |
माना कि AB = BC = AC = 2k
तो ` OC = OB = k ` तथा ` AO = sqrt ( AC^ 2 - OC^ 2 ) = sqrt ( 4k ^ 2 - k ^ 2 ) = sqrt 3 k `
अब ` A -= ( 0 , sqrt 3 k ) , B -= ( - k , 0 ) ` तथा ` C-= ( k, 0 ) `
` therefore z _ 1 = 0 + sqrt3 k i = sqrt 3 k i, z _ 2 = - k + 0 i = - k , z _ 3 = k + 0 i = k `
LHS = ` z _ 1 ^ 2 + z _ 2 ^ 2 + z _ 3 ^ 2 = 3k ^ 2 i ^ 2 + k^ 2 + k ^ 2 `
` = - 3k^ 2 + k^ 2 + k ^ 2 = - k ^ 2 `
RHS = ` z _ 1 z _ 2 + z _ 2z _ 3 + z _ 3 z _1 = sqrt3 k i ( - k ) + ( - k ) k + k. sqrt 3 k i `
` = - sqrt 3 k ^ 2 i - k ^ 2 + sqrt 3 k ^ 2 i = - k ^ 2 `
` therefore ` LHS = RHS