PERMUTATIONS शब्द के अक्षरों को कितने तरीको से व्यवस्थित किया जा सकता है , यदि
(i) चयनित शब्द प्रांरभ P से तथा अंत S से होता है |
(ii) चयनित शब्द में सभी स्वर एक साथ है ?
(iii) चयनित शब्द में P तथा S के मध्य सदैव 4 अक्षर हो ?

Explanation

(i ) कुल अक्षरो की संख्या = 12 जिसमे t दो बार आता है |

पहले स्थान को भरने का तरीका = 1
12 वां स्थान को भरने का तरीका =1
शेष 10 स्थानों को बचे हुए 10 स्थानों को बचे हुए 10 अक्षरो से भरने का तरीका `= (lfloor10)/(lfloor2)`
अतः अभीष्ठ संख्या `=xx (lfloor10)/(lfloor2)xx1(lfloor10)/(lfloor2)= 1814400`
(ii ) कुल अक्षरो की संख्या = 12 जिसमे T दो बार आता है ।
कुल स्वरों की संख्या `= 5 [ E ,U ,A , I ,O ]`
पाँच स्वरों को एक अक्षर मानने पर अक्षरो की संख्या = 7 + 1 = 8
इन अक्षरो को सजाने का तरीका `= (lfloor8)/(lfloor2)" "[because T ` दो बार आता है ]
पाँच स्वरों को आपस में सजाने का तरीका `lfloor 5 `
अतः अभीष्ट संख्या `= (lfloor8)/(lfloor2)xxlfloor5`
` = 2419200`
(iii ) हमे P और S के बीच सदैव 4 अक्षर रखना है ।
P और S को छोड़कर बचे अक्षरो की संख्या = 10 जिसमे T दो बार है ।
Case I । जब दोनों T P तथा S के बीच हो
बचे हुए 8 अक्षरो को चुनने का तरीका `""^(8)C_(2) = (8xx7)/(2) = 28`
इन दो चुने हुए अक्षरो और दोनों T को P तथा S के बीच रखकर पुरे को एक अक्षर मानने परअक्षरो की संख्या `= 6 + 1 = 7 `
इन सात अक्षरो को सजाने का कुल तरीका `lfloor7 `
T और S के बीच 4 अक्षरो को सजाने का कुल तरीका `=(lfloor4)/(lfloor2) = 12 " " because ` दो बार है ]
P ओर S के बीच 4 अक्षरो को सजाने का तरीका `lfloor 2 = 2 `
इस स्थिति में सजाने का कुल तरीका `= ""^(8) C_(2) xxlfloor 7 xx12xx 2 `
` = 3386880`
Case II । जब P और स के बीच केवल एक T हो
P और S के बीच एक T है तो शेष 3 अक्षरो का चुनाव बचे हुए 8 अक्षरो में से करने का तरीका `= ""^(8) C_(2) xxlfloor 7 xxlfloor4xx lfloor2 `
`13547520`
Case III , जब P और S के बीच एक भी T नहीं हो
P और S के बीच रखने के लिए 4 अक्षरो का चुनाव बचे हुए 8 अक्षरो में से करने का तरीका ` = ""^(8) C_(4) = `
P और S और उसके बीच रखे 4 अक्षरो को एक अक्षरो मानने पर कुल अक्षरो की संख्या = 7
इन सात अक्षरो को सजाने का तरीका `= (lfloor7)/(lfloor2)" " [because ` T दो बार है ]
P और S के बीच 4 अक्षरो को आपस में सजाने का तरीका `lfloor 4 `
P और स को आपस में सजाने का तरीका `lfloor 2 `
इस स्थिति में बने शब्दों की संख्या ` =""^(8)C_(4)xx (lfloor7)/(lfloor2)xxlfloor 4xxlfloor 2 `
` = 8467200 `
अभीष्ट संख्या ` = 3386880 + 13547520 + 8467200 = 25401600 `