किसी तल में 10 बिन्दु है जिनमे से 4 बिन्दु एक रैखिक है । इन 4 बिन्दुओ को
छोड़कर कोई तीन बिन्दु एक रैखिक नहीं है । इन 10 बिन्दुओ से बने
(i ) त्रिभुज की संख्या निकालिए ।
(ii ) सरल रेखाओ की संख्या निकालिए ।

Explanation

(i ) त्रिभुज बनाने के लिए तीन बिन्दुओ का चुनाव करना होगा ।

अतः अभीष्ट संख्या = 116
Second Method : 10 बिन्दुओ में से 3 बिन्दुओ को चुनाने का कुछ तरीका
`= ""^(10)C_(3) = (10!)/(3!7!) =(10।9।8)/(6) = 120`
4 एक रेखिक बिन्दुओ में से 3 को चुननेका तरीका `= ""^(4)C_(3) =4`
अतः 3 बिन्दुओ के वैसे चुनावो की संख्या जिससे कोई त्रिभुज नहीं बनेगा = 4
अतः अभीष्ट तरीका = 120 - 4 = 116
(ii ) सरल रेखा बनाने के लिए दो बिन्दुओ का चुनाव करना होगा ।

अतः सरल रेखाओ की अभीष्ट संख्या = 40
Second Method : 10 बिन्दुओ में से 2 को चुनने का कुछ तरीका = `= ""^(10)C_(2) = (10xx9)/(2!) =45`
यदि चार एक रेखिक बिन्दु A , B , C , D हो तो इनमे से दो-दो चुनाव `= ""^(4)C_(2) =6`
होगा । ये चुनाव होंगे A , B, A , C, A , D, B , C, B,D तथा C ,D इन दो बिन्दुओ के 6
चुनाव से रेखाएँ मिलेगी AB ,AC ,AD BC , BD तथा CD और ये एक ही रेखा है ।
अतः दो बिंदाओ के वैसे चुनावो की संख्या जिससे सिर्फ एक सरल रेखा बनता है `= ""^(4)C_(2) =6`
`therefore ` अभीष्ट रेखाओ की संख्या `= ""^(10)C_(2) =- ""^(4)C_(2) + 1 = 45- 6 + 1 = 40`
Second Method : 10 में से 4 बिन्दुओ को चुनने का कुछ तरीका
`= ""^(10)C_(4)= (10!)/(4!6!) = (10xx9xx8xx7)/(24) = 210`
चार बिन्दुओ के वैसे चुनावो की संख्या जिससे कोई चतुभुर्ज नहीं बनेगा
`= ""^(4)C_(4)= *""^(6)C_(1) + ""^(4)C_(4) *""^(6)C_(0) = 4xx6+ 1।1 = 25 `
अतः अभीष्ट संख्या ` = 210 - 25 = 185 `