`(1+x)^(n+1)` का द्विपद प्रसार लिखिए, जब x = 8. सभी `n in N` के लिए दिखलाइए कि `9^(n+1)-8n-9`, 64 से विभाज्य है |

Explanation

`(1+x)^(n+1)=""^(n+1)C_(0)+^(n+1)C_(1)x+^(n+1)C_(2)x^(2)+""^(n+1)C_(3)x^(3)+...+""^(n+1)C_(n+1)x^(n+1)`
x = 8 रखने पर, हम पाते हैं
`(1+8)^(n+1)=""^(n+1)C_(0)+^(n+1)C_(1)8+""^(n+1)C_(2)8^(2)+""^(n+1)C_(3)8^(3)+...+""^(n+1)C_(n+1)8^(n+1)" "...(1)`
यदि `(1+x)^(n+1)` का अभीष्ट द्विपद प्रसार है जब x = 8
Second part : (1) से,
`9^(n+1)=1+(n+1)8+""^(n+1)C_(2)8^(2)+""^(n+1)C_(3)8^(3)+...+""^(n+1)C_(n+1)8^(n+1)`
`(because""^(n+1)C_(0)=1" तथा """^(n+1)C_(1)=n+1)`
`implies9^(n+1)-8n-9=64(""^(n+1)C_(2)+""^(n+1)C_(3)8+...+""^(n+1)C_(n+1)8^(n-1))`
= 64 k, जहाँ k कोई पूर्णांक है
अत: सभी `n in N` के लिए `9^(n+1)-8n-9`, 64 से विभाज्य है |