द्विपद प्रमेय के प्रयोग से साबित कीजिए कि `3^(4n+1)+16n-3`, 256 से विभाज्य है यदि n एक धन पूर्णांक है |

Explanation

दिया गया व्यंजक `=3^(4n+1)+16n-3`
`=3^(4n).3+16n-3=3(3^(4n)-1)+16n`
`=3[(3^(4))^(n)-1]+16n=3[(81)^(n)-1]+16n`
`=3[(1+80)^(n)-1]+16n" "[because80^(2),"256 से विभाज्य है"]`
`=3[{1+""^(n)C_(1)(80)+""^(n)C_(2)(80)^(2)+""^(n)C_(3)(80)^(3)+...+(80)^(n)}-1]+16n`
`=3[80n+""^(n)C_(2)(80)^(2)+""^(n)C_(3)(80)^(3)+...+(80)^(n)]+16n`
`=240n+3[""^(n)C_(2)(80)^(2)+""^(n)C_(3)(80)^(3)+...+(80)^(n)]+16n`
`=(240n+16n)+3.80^(2)[""^(n)C_(2)+""^(n)C_(3)80+...+80^(n-2)]`
`=256[n+75{""^(n)C_(2)+""^(n)C_(3).80+......+80^(n-2)}]`
जो कि 256 से विभाज्य है |