यदि `(1+x)^(n)` के विस्तार में `a_(1),a_(2),a_(3),a_(4)` किन्हीं चार क्रमागत पदों के गुणांक हों, तो सिद्ध कीजिए कि
`(a_(1))/(a_(1)+a_(2))+(a_(3))/(a_(3)+a_(4))=(2a_(2))/(a_(2)+a_(3))`

Explanation

माना कि `a_(1),a_(2),a_(3),a_(4)` क्रमश: r वें, `(r+1)` वे, `(r+2)` वें, `(r+3)` वें पदों के गुणांक हैं |
तो `" "a_(1)=r" वें पद का गुणांक "=""^(n)C_(r-1)`
`a_(2)=(r+1)" वें पद का गुणांक"=""^(n)C_(r)`
`a_(3)=(r+2)" वें पद का गुणांक"=""^(n)C_(r+1)`
`a_(4)=(r+3)" वें पद का गुणांक"=""^(n)C_(r+2)`
अब, `(a_(2))/(a_(1))=(""^(n)C_(r))/(""^(n)C_(r-1))=(lfloorn)/(lfloorrlfloorn-r).(lfloorr-1lfloorn-r+1)/(lfloorn)=(n-r+1)/(r)`
`:." "(a_(2)+a_(1))/(a_(1))=(a_(2))/(a_(1))+1=(n-r+1)/(r)+1=(n+1)/(r)`
`:." "(a_(1))/(a_(1)+a_(2))=(r)/(n+1)" "...(1)`
इसी प्रकार, (1) में r के स्थान पर `(r+1)` रखने पर, `(a_(2))/(a_(2)+a_(3))=(r+1)/(n+1)`
तथा (1) में r के स्थान पर `(r+2)` रखने पर, `(a_(3))/(a_(3)+a_(4))=(r+2)/(n+1)`
`:." "(a_(1))/(a_(1)+a_(2))+(a_(3))/(a_(3)+a_(4))=(r)/(n+1)+(r+2)/(n+1)=(2(r+1))/(n+1)=(2a_(2))/(a_(2)+a_(3))`