`(x-(3)/(x^(2)))^(m),x ne0` जहाँ m एक प्राकृत संख्या है, के प्रसार में पहले तीन पदों के गुणांकों का योग 559 है | प्रसार में `x^(3)` वाला पद ज्ञात कीजिए |

Explanation

प्रसार से हम पते हैं,
`(x-(3)/(x^(2)))^(m)=x^(m)+""^(m)C_(1)x^(m-1)(-(3)/(x^(2)))+""^(m)C_(2)x^(m-2)(-(3)/(x^(2)))^(2)`
`=x^(m)+""^(m)C_(1)(-3).x^(m-3)+""^(m)C_(2)(9)x^(m-6)+...`
प्रथम तीन पदों के गुणांक `1,-3""^(m)C_(1)+9""^(m)C_(2)` हैं
इसलिए दिये गये प्रतिबंध के अनुसार,
`1-3""^(m)C_(1)+9""^(m)C_(2)=559`
`implies" "1-3m+9((m-1))/(2)=559`
`implies" "(9m(m-1))/(2)-3m=559-1=558`
`implies" "(9m^(2)-15m)/(2)=558`
`implies" "9m^(2)-15m=2xx558`
`implies" "3m^(2)-5m=2xx186`
`implies" "3m^(2)-5m-372=0`
`implies" "(m-12)(3m+31)=0`
`implies" "m=12" or "m=-(31)/(3)`
लेकिन m प्राकृत संख्या है, इसलिए यह ऋणात्मक नहीं हो सकता है | अत: m = 12
अब, `" "t_(r+1)=""^(12)C_(r)x^(12-r)(-(3)/(x^(2)))^(r)`
`=""^(12)C_(r)x^(12-r)(-3)^(r).x^((1)/(x^(2r)))`
`=""^(12)C_(r)(-3)^(r).x^(12-3r)`.
क्योंकि हमें `x^(3)` वाला पद चाहिए, अत: `12-3r=3impliesr=3`.
इस प्रकार, अभीष्ट पद `=""^(12)C_(3)(-3)^(3).x^(3)=-5940x^(3)`.