किसी A.P. में उसके m वे पद का m गुणा उसके n वे पद के n गुणा के बराबर है। साबित कीजिए कि इस A.P. का (m +n )वा पद शून्य है।

Explanation

माना कि A.P. का प्रथम पद a तथा पदान्तर d है
`:.t_(m)=a+(m-1)d" तथा "t_(n)=a+(n-1)d`
प्रश्न से `mxxt_(m)=nxxt_(n)`
`:.m[a+(m-1)d]=n[a+(n-1)d]`
या `ma+m^(2)d-md=na+n^(2)d-nd`
या `ma-na=md-nd+n^(2)d-m^(2)d`
या `(m-n)a=d(m-n)-d(m^(2)-n^(2))`
`=d(m-n)-d(m-n)(m+n)`
या `a=d-(m+n)d=(1-m-n)d" "[m-n" से भाग देने पर "("":'mnen)]`
`:.a+(m+n-1)d=0`
अब `t_(m+n)=a+(m+n-1)d=0`
अतः A. P. का (m +n)वा पद शून्य है।