योगफल निकालिए `1-3+5-7+9-11+.......n` पदों तक

Explanation

यहाँ दिये हुए श्रेणी के पद A. P. में नहीं है। बल्कि एक-एक पद छोड़कर A. P. में है।
Case I : जब n एक सम संख्या हो। माना कि n =2m
अब `1-3+5-7+9-11+.......n` पदों तक
`1-3+5-7+9-11+.......2m` पदों तक
`=(1+5+9+.......m` पदों तक)-`(3+7+11+.......m` पदों तक)
`=(m)/(2)[2.1+(m-1)4]-(m)/(2)[2xx3+(m-1)4]`
`=(m)/(2)(4m-2)-(m)/(2)(4m+2)`
`=m(2m-1)-m(2m+1)=-2=-n" "[:'n=2m]`
Case II. n=2m+1
अब `1-3+5-7+9-11+.......n` पदों तक
`1-3+5-7+9-11+.......(2m+1)` पदों तक
`=[1+5+9+.......(m+1)" पदों तक "]-[3+7+11+.......m" पदों तक "]`
`=(m+1)/(2)[2.1+(m+1-1)4-(m)/(2)[2.3+(m-1)4]`
`=(m+1)/(2)(4m+2)-(m)/(2)(4m+2)`
`=(m+1)(2m+1)-m(2m+1)=(2m+1)(m+1-m)=2m+1=n` Case I. जब n=2m
1-3+5-7+9-11+........n पदों तक
=1-3+5-7+9-11+........2m पदों तक
=(1-3)+(5-7)+(9-11)+.........2m पदों तक
=-2-2-2-......m पदों तक =-2m=-n `[:'n=2m]`
Case II. जब n=2m+1
1-3+5-7+9-11+......n पदों तक
=1-3+5-7+9-11+.......2m+1 पदों तक
=1-[3-5+7-9+........2m पदों तक ]
=1-[(3-5)+(7-9)+........m पदों तक]
=1-[-2-2.......m पदों तक]=-1-(-2m)=2m+1=n