किसी सo श्रेo के प्रथम p पदों का योग तथा प्रथम q पदों का योग बराबर है, तो सिद्ध कीजिए कि प्रथम p+q पदों का योग 0 होगा।

Explanation

माना कि A . P. का प्रथम पद a तथा c.d d है। अब प्रश्न से `S_(p)=S_(q)`
`:.(p)/(2)[2a+(p-1)d}=(q)/(2){2a+(q-1)d}`
या `2ap+p(p-1)d=2aq+q(q-1)d`
या `2a(p-q)+d(p^(2)-p-q^(2)+q}=0`
या `2a(p-q)+d[(p^(2)-q^(2))-(p-q)]=0`
या `2a(p-q)+d(p-q)(p+q-1)=0`
या `(p-q)[2a+(p+q-1)d]=0`
या `2a+(p+q-1)d=0" ".......(1)" "[:'pneq:.p-qne0]`
अब `S_(p+q)=(p+q)/(2)[2a+(p+q-1)d]=(p+q)/(2).0=0`