किसी से श्रे के p, q तथा r पदों के योगफल क्रमशः a, b, c हो तो सिद्ध कीजिए कि `(a)/(q)(q-r)+(b)/(q)(r-p)+(c)/(r)(p-q)=0`

Explanation

माना कि A .P. का प्रथम पद =x तथा c.d.=d
प्रश्न से `a=(p)/(2){2x+(p-1)d}" या "(a)/(p)=x+(p-1)/(2)d" "……(i)`
पुनः `b=(q)/(2){2x+(q-1)d}" या "(b)/(q)=x+(q-1)/(2)d" "......(ii)`
तथा `c=(r)/(2){2x+(r-1)d}" या "(c)/(r)=x+(r-1)/(2)d" "......(iii)`
(i) में (q-r), (ii) में (r-p) तथा (iii) में p-q से गुणा कर जोड़ने पर,
`(a)/(q)(q-r)+(b)/(q)(r-p)+(c)/(r)(p-q)`
`=(x+(p-1)/(2)d)(q-r)+(x+(q-1)/(2).d)(r-p)+(x+(r-1)/(2)d)(p-q)`
`=x{q-r+r-p-q}+(d)/(2){(q-r)(p-1)+(r-p)(q-1)+(p-q)(r-1)}` ltbr`=x.0+(d)/(2).0=0`