यदि किसी सo श्रेo के m पदों का योग उसके (m +n ) पदों के योग का आधा और (m + p ) पदों के योग का भी आधा हो, तो सिद्ध कीजिए कि
`(m+n)((1)/(m)-(1)/(p))=(m+p)((1)/(m)-(1)/(n))`

Explanation

माना कि सo श्रेo का प्रथम पद =a तथा c.d.=d
तो प्रश्न से, m पदों का योग `=(1)/(2)xx(m+n)` पदों का योग
`:.(m)/(2){2a+(m-1)d}=(1)/(2)xx(m+n)/(2){2a+(m+n-1)d}" "......(1)`
मान कि 2a+(m-1)d=x
तो (1) से, `2mx=(m+n)(x+nd)`
या `2mx-mx-nx=(m+n)nd`
या `x(m-n)=(m+n)nd" "......(2)`
पुनः प्रश्न से, m पदों का योग `=(1)/(2)xx(m+p)` पदों का योग
`:.x(m-p)=(m+p)pd" ".......(2)` [(1) की तरह]
(1) में (2) से भाग देने पर,
`(m-n)/(m-p)=((m+n)n)/((m+p)p)`
या `(m+n)(m-p)n=(m+p)(m-n)p`
दोनों और mnp से भाग देने पर,
`(m+n)((1)/(p)-(1)/(m))=(m+p)((1)/(n)-(1)/(m))`
अतः `(m+n)((1)/(m)-(1)/(p))=(m+p)((1)/(m)-(1)/(n))`