यदि a, b, c, d तथा p विभिन्न वास्तविक संख्याएँ इस प्रकार है कि
`(a^(2)+b^(2)+c^(2))p^(2)-2(ab+bc+cd)p+b^(2)+c^(2)+d^(2)le0` तो दर्शाइए कि a, b, c तथा d गुणोत्तर श्रेढ़ी में है।

Explanation

दिया है `(a^(2)+b^(2)+c^(2))p^(2)-2(ab+bc+cd)p+b^(2)+c^(2)+d^(2)le0`
`implies(a^(2)p^(2)-2abp+b^(2))+(b^(2)p^(2)-2bcp+c^(2))+(c^(2)p^(2)-2cdp+d^(2))=le0`
`implies(ap-b)^(2)+(bp-c)^(2)+(cp-d)^(2)le0`
`implies(ap-b)^(2)+(bp-c)^(2)+(cp-d)^(2)=0`
[चूँकि वास्तविक संख्याओं का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता है ।]
`(ap-b)^(2)=0.(bp-c)^(2)=0" तथा "(cp-d)^(2)=0`
`implies(b)/(a)=p,(c)/(b)=p,(d)/( c)=p`
`implies(b)/(a)=(c)/(b)=(d)/(c)=p` अतः a,b, c, d G.P. में है जिसका सार्व अनुपात p है।