यदि p,q,r गुणोत्तर श्रेढ़ी में है तथा समीकरणों `px^(2)+2qx+r=0" और "dx^(2)+2ex+f=0` एक उभयनिष्ठ मूल रखते हो, तो दर्शाइए कि `(d)/(e),(e)/(q),(f)/(r)` समांतर श्रेढ़ी में है।

Explanation

प्रश्न से, p, q, r G. P. में है, `:.q^(2)=pr" ".......(1)`
दिया गया समीकरण `px^(2)+2qx+r=0" ".......(2)`
समीकरण (1) के मूल `=(-2qpmsqrt(4(q^(2)-pr)))/(2p)`
`=(-2q)/(2p),(-2q)/(2p)" "[:'q^(2)=pr]`
`=-(q)/(p),-(q)/(p)`
चूँकि समीकरण (2) तथा (3) को सार्व मूल है, इसलिए
`-(q)/(p)` अवश्य ही समीकरण (3) का मूल होगा
`:.d((-q)/(p))^(2)+2e((-q)/(p))+f=0`
`impliesdq^(2)-2eqp+fp^(2)=0`
`(dq^(2))/(pq^(2))-(2eqp)/(pq^(2))+(fp^(2))/(pq^(2))=0" "` [से विकसित `pq^(3)` करने पर]
`implies(d)/(p)-(2e)/(q)+(fp^(2))/(p.pr)=0" "[:'q^(2)=pr]`
`implies(d)/(p)-(2e)/(q)+(f)/(r)=0`
`implies(2e)/(q)=(d)/(p)+(f)/(r)`
`implies(d)/(p),(e)/(q),(f)/(r)` A. P. में है।