यदि किसी गु क्षे के n पदों का योगफल S उनके गुणनफल P और व्यत्क्रमो का योगफल R हो तो साबित कीजिए कि `[(S)/(R)]^(n) = P^2`

Explanation

माना कि G. P. का प्रथम पद a और है।
अब `S=a+ar+ar^(2)+.......ar^(n-1)=(a(r^(n-1)))/(r-1)`
`P=a.ar.ar^(2).ar^(3)............ar^(n-1)`
`=a^(n)r^(1+2+3+......(n-1))=a^(n)r(n(n-1))/(2)`
और `R=(1)/(a)+(1)/(ar)+(1)/(ar^(2))+.........+(1)/(ar^(n-1))`
`((1)/(a)(1-(1)/(r^(n))))/(1-(1)/(r))" "[:'` यहाँ प्रथम पद `(1)/(a)`,]
`=(1)/(a).(r^(n)-1)/(r^(n)).(r)/(r-1)=(1)/(ar^(n-r))(r^(n)-1)/(r-1)`
अतः `(S)/(R)=(a(r^(n)-1))/(r-1)xx(ar^(n-1)(r-1))/(r^(n)-1)=a^(2)r^(n-1)`
`:.[(S)/(R)]^(n)=a^(2n)r^(n(n-1))=[a^(n)r(n(n-))/(2)]^(2)=P^(2)`.