यदि `x=1+a+a^(2)+a^(3)+......` अनन्त तक तथा `y=1+b+b^(2)+b^(3)+..........` अनन्त तक साबित कीजिए कि `1+ab+a^(2)b^(2)+a^(3)b^(3)+..........` अनन्त तक `=(xy)/(x+y-1)` जहाँ `0ltalt1" तथा "0ltblt1`.

Explanation

`:'S_(oo)=(a)/(1-r)," जहाँ "|r|lt1`
`x=1+a+a^(2)+.......oo" तक "=(1)/(1-a)`
या `x-ax=1" या "ax=x-1:.a=(x-1)/(x)" "......(1)`
तथा `y=1+b+b^(2)+b^(3)+.........oo" तक "=(1)/(1-b)`
या `y-by=1" या "y-1=by:.b=(y-1)/(y)" "......(2)`
`:'0ltalt1" तथा "0ltblt1" ":.0ltablt1`
अब `1+ab+a^(2)b^(2)+a^(3)b^(3)+.........oo` तक
`=(1)/(1-ab)=(1)/(-1(x-1)/(x).(y-1)/(y))` [(1) और (2) से a, b का मान रखने पर]
`=(xy)/(xy-(x-1)(y-1))=(xy)/(x+y-1)`