यदि तीन संख्याएँ A. P. में हो तो उनका वर्ग G. P. में नहीं हो सकता

Explanation

माना कि A. P. में तीन संख्याएँ `alpha-beta,alpha,alpha+beta` है
अब `(alpha-beta)^(2),alpha^(2),(alpha+beta)^(2)` G. P. में है
`impliesalpha^(4)=(alpha^(2)-beta^(2))^(2)impliesalpha^(4)+beta^(4)-2alpha^(2)beta^(2)impliesbeta^(2)(beta^(2)-alpha^(2))=0`
`impliesbeta=0" या "beta=pmsqrt2alpha`
`beta=0` लेने पे तीनो संख्याएँ `alpha,alpha,alpha` होगी जो A. P. में है तथा उनका वर्ग `alpha^(2),alpha^(2),alpha^(2)` G. P. में होगी ।