यदि दो संख्याओं के बीच का समान्तर माध्य इसके बीच के गुणोत्तर माध्य का दुगुना हो, तो साबित कीजिए कि उन संख्याओ का अनुपात `2+sqrt3:2-sqrt3` है।

Explanation

माना कि दो संख्याएँ a तथा b है जिनके बीच का समान्तर माध्य A तथा गुणोत्तर माध्य b है तो `A=(a+b)/(2)" तथा "G=sqrt(ab)" ".......(i)`
प्रश्न से, `(a+b)/(2)=2sqrt(ab)" या "(a+b)/(2sqrt(ab))=(2)/(1)`
`implies(a+b+2sqrtab)/(a+b-2sqrt(ab))=(2+1)/(2-1)` [compoendo तथा dividendo से]
`implies((sqrt(a)+sqrtb)^(2))/((sqrt(a)-sqrt(b))^(2))=(3)/(1)implies(sqrta+sqrt(b))/(sqrta+sqrtb)=(sqrt3)/(1)`
`implies(2sqrt(a))/(2sqrtb)=(sqrt3+1)/(sqrt3-1)or(sqrta)/(sqrtb)=(sqrt3+1)/(sqrt3-1)` [componedo तथा dividendo से]
`implies(a)/(b)=((sqrt3+1)/(sqrt3-1))^(2)=(3+1+2sqrt3)/(3+1-2sqrt3)=(4+2sqrt3)/(4-2sqrt3)=(2+sqrt3)/(2-sqrt3)`