यदि b और c के बीच में एक समान्तर माध्य a और दो गुणोत्तर माध्य `G_(1)" और "G_(2)` हो, तो सिद्ध कीजिए कि `G_(1)^(3)+G_(2)^(3)=2abc`.

Explanation

b और c का A. M. `a=(b+c)/(2)" "......(i)` `:'G_(1)" और "G_(2)` b और c के बीच दो G. M. है
`:.b,G_(1),G_(2)` c. G. P. में होंगे
माना कि इस G. P. का common ratio r है तो
`:.G_(1)=br,G_(2)=br^(2)" तथा "c=br^(3)" ".......(2)`
अब `G_(1)+G_(2)^(3)=(br)^(3)+(br^(2))^(3)=b^(3)r^(3)(1+r^(3))`
`=b^(3).(c)/(b)(1+(c)/(b))[:'(2)" से "r^(3)=(c)/(b)]`
`=b^(2)c((b+c))/(b)=bc(b+c)=bc.2a=2abc" "[:'(1)" से "b+c=2a]`
अतः `G_(1)^(3)+G_(2)^(3)=2abc`