यदि a, b और c स श्रे तथा गु श्रे दोनों के क्रमशः p वां q वां और r वां पद हो तो, सिद्ध कीजिए कि `a^(b-c)b^(c-a)c^(a-b)=1`.

Explanation

माना कि स श्रे का प्रथम पर x और पदान्तर y है।
तो प्रश्न से `a=x+(p-1)y" ".......(1)`
`b=x+(q-1)y" "......(2)`
`c=x+(r-1)y" "(3)`
`:.b-c=(q-r)d,c-a=(r-p)d,a-b=(p-q)d" ".......(A)`
पुनः a=G. P. का p वां पद `=mn^(p-1)" ".......(4)`
b=G. P. का q वां पद `=mn^(q-1)" ".......(5)`
तथा c= G. P. का r वां पद `=mn^(r-1)" ".......(6)`
जहाँ m G. P. का प्रथम पद तथा n = G. P. का
अब `a^(b-c)b^(c-a)c^(a-b)`
`=(mn^(p-1))^((q-r)^(d)),(mn^(q-1))^((r-q)^(d)).(mn^(r-1(p-q)d).`
`=m^((q-r)d+(r-p)d+(p-q)d)xxn[(p-1)(q-r)d+(q-1)(r-p)d+(r-1)(p-q)d]`
`=m^(0).n^(0)=1`.