श्रेणी `1^(2)+3^(2)+5^(2)+7^(2)+.......` के n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।

Explanation

दिये गये श्रेणी के पद A. P. में नहीं है परन्तु वर्ग हटाने पर, 1, 3, 5, 7, ……. सभी पद A. P. में है।
अतः वर्ग हटाने के बाद बने श्रेणी का व्यापक पद या n वां पद
`=1+(n-1).2=2n-1`
`:.` दी हुई श्रेणी का n वां पद `t_(n)=(2n-1)^(2)=4n^(2)-4n+1`
अतः श्रेणी के n पदों का योगफल, `S_(n)=sumt_(n)=sum(4n^(2)-4n+1)=sum4n^(8)-sum4n+sum1`
`=4sumn^(2)=4sumn+n=(4n(n+1)(2n+1))/(6)-(4n(n+1))/(2)+n`
`=n[(2)/(3)(n+1)(2n+1)-2(n+1)+1]`
`=n[(2(2n^(2)+3n+1)-6(n+1)+3)/(3)=(n(4n^(2)-1))/(3)`
दूसरी विधि
दिये हुए श्रेणी का n वां पद `t_(n)={1+(n-1).2}^(2)=(2n-1)^(2)=4n^(2)-4n+1`
n के स्थान पर 1, 2, 3, 4,..........n रखने पर
`t_(1)=4.1^(2)-4.1+1` `t_(2)=4.2^(2)-4.2+1`
`t_(3)=4.3^(2)-4.3+1`
`...........................`
`underline(t_(n)=4.n^(2)-4.n+1).`
`:." योगफल "S_(n)=4(1^(2)+2^(2)+3^(2)+.......+n^(2))-4(1+2+3+......+n)+(1+1+1+............n` बार)
`=4.(n(n+1)(2n+1))/(6)-4.(n(n+1))/(2)+n`
`=(n)/(3)[2(n+1)(2n+1)-6(n+1)+3]`
`=(n)/(3)(4n^(2)+6n+2-6n-6+3)=(n)/(3)(4n^(2)-1)`