निम्नलिखित श्रेणी के n पदों का योगफल निकालिए
`1.2.3+2.3.4+3.4.5+......`

Explanation

यहाँ दिये हुए श्रेणी का प्रत्येक पद तीन पूर्णाकों का गुणनफल है।
सभी पदों का पहला गुणनखण्ड 1, 2, 3……… एक A. P. है
सभी पदों का दूसरा गुणनखण्ड 2, 3, 4, ………… एक A. P. है
सभी पदों का तीसरा गुणनखण्ड 3, 4, 5, ………. एक A. P. है
अब दिये गये श्रेणी का n वां पद
`t_(n)={1+(n-1).1}{2+(n-1).1}{3+(n-1).1}`
`=n(n+1)(n+2)=n(n^(2)+3n+2)=n^(3)+3n^(2)+2n`
`:.S_(n)=sum_(n=1)^(n)t_(n)=sumn^(3)+3sumn^(2)+2sumn`
`={(n(n+1))/(2)}^(2)+(3n(n+1)(2n+1))/(6)+(2n(n+1))/(2)`
`=(n(n+1))/(2)[(n(n+1))/(2)+2n+1+2]`
`=(n(n+1))/(2)((n^(2)+n+4n+2+4)/(2))`
`=(1)/(4).n(n+1)(n^(2)+5n+6)=(1)/(4).n(n+1)(n+2)(n+3)`