जमीन पर n पत्थर रखे है। पहले और दूसरे, दूसरे और तीसरे, तीसरे और चौथे आदि पत्थरो के बीच क्रमशः 1 मीटर, 3 मीटर, 5 मीटर आदि की दूरियाँ है। किसी आदमी को एक-एक करके सभी पत्थरो को पहले पत्थर के नजदीक रखे एक टोकरी में रखने के लिए कितना दुरी चलना पड़ेगा यदि वह टोकरी से चलना प्रारंम्भ करता है ?

Explanation

पहले पत्थर को टोकरी में रखने के लिए तय की गई दुरी = 0 मीटर
दूसरे पत्थर को टोकरी में रखने के लिए तय की गई दुरी =2.1 मीटर तीसरे पत्थर को टोकरी में रखने के लिए तय की गई दुरी =2 (1 +3 ) मी
चौथे पत्थर को टोकरी में रखने के लिए तय की गई दुरी =2 (1 +3 +5 ) मी इसी तरह अन्य पत्थरो के लिए
अतः सभी n पत्थरो को टोकरी में रखने के लिए तय की गई कुछ दुरी
`=0+2.1+2(1+3)+2(1+3+5)+......n` पदों तक
`=2[1+(1+3)+(1+3+5)+.......(n-1)` पदों तक]
अब श्रेणी का n वां पद `t_(n)=2(1+3+5+.........n` पदों तक)
या `t_(n)=2.(n)/(2){2.1+(n-1)2}=2n^(2)`
`:.S_(n-1)(n-1)" पदों का योगफल "=sum_(1)^(n-1)t_(n)=2sum_(1)^(n-1)n^(2)`
`=(2(n-1)(n-1+1){2(n-1)+1})/(6)`
`=(n(n-1)(2n-1))/(3)" "[:'sum_(1)^(n)n^(2)=(n(n+1)(2n+1))/(6)]`