बहुपद ` f ( x ) = x ^ 2 - 2x - 8 ` का आलेख खींचिये |

Explanation

माना ` y = x^ 2 - 2x - 8 `
निम्न सारणी x के विभिन्न मानो के लिए y अथवा ` f ( x ) ` के मान दर्शाती है |

अब हम बिंदुओं ` ( - 4, 16 ) , ( - 3, 7 ) , ( - 2 , 0 ), ( - 1, - 5 ) , ( 0 , - 8 ) , ( 1, -9) , ( 2, -8) , ( 3, - 5) , ( 4,0) , ( 5, 7 ) ` और ` ( 6, 16) ` को आलेख पेपर पर अंकित करते है तथा हलके हाथ से इन बिंदुओं से गुजरने वाला एक वक्र खींचते है | इस प्रकार प्राप्त वक्र बहुपद ` f ( x ) = x ^ 2 - 2 x- 8 ` के आलेख को निरूपित करता है | स्पष्ट है कि यह आलेख एक परवलय ( parabola ) के रूप में है | इस परवलय में बिंदु P परवलय का शीर्ष कहलाता है | P से गुजरती हुई उर्ध्व रेखा परवलय का अक्ष कहलाती है | परवलय उसके अक्ष के सापेक्ष सममित होता है इसलिए इसे सममितता की रेखा भी कहते है |

प्रेक्षण (observations ) : बहुपद ` f ( x ) = x ^ 2 - 2x - 8 ` के आलेख से, हम निम्न जानकारी प्राप्त करते है |
(i) बहुपद ` f ( x ) = x ^ 2 - 2x - 8 ` में ` x ^ 2 ` का गुणांक 1 है जो कि एक धनात्मक वास्तविक संख्या है इसलिए परवलय ऊपर की ओर खुलता है |
(ii) बहुपद ` f ( x ) = x ^ 2 - 2x - 8 = ( x - 4 ) ( x + 2 ) ` दो विभिन्न रेखित गुणनखण्डों ` ( x - 4 ) ` और ` ( x - 2 ) ` में विभक्त हो सकता है |
इसलिए परवलय x - अक्ष को दो विभिन्न बिंदुओं ` ( 4, 0 ) ` और ` ( - 2, 0 ) ` पर काटता है | इन बिंदुओं के x - निर्देशांक बहुपद ` f ( x ) ` के शुन्यंक है |
(iii) बहुपद ` f ( x ) = x ^ 2 - 2x - 8 ` के 4 और -2 दो शून्यक है | इसलिए, परवलय x - अक्ष पर ` ( 4, 0 ) ` और ` ( - 2 , 0 ) ` पर काटता है |
(iv) बहुपद ` x^ 2 - 2x - 8 ` को ` ax^ 2 + bx + c, ` से तुलना करने पर, हम पाते है कि ` a = 1 , b = - 2 ` तथा c = -8 है | परवलय के शीर्ष के निर्देशांक ` ( 1, - 9) ` अर्थात ` (( - b ) /(2a ) , ( - D) /(4a)) ` है, जहाँ ` D = b ^ 2 - 4ac ` है |
(v) चूँकि ` D = b ^ 2 - 4ac = 4 + 32 = 6 gt 0 ` है | अतः परवलय x - अक्ष को दो भिन्न -2 बिंदुओं पर काटता है |