द्विघात बहुपद ` f (x ) = 3- 2x - x ^ 2 ` का आलेख खींचिये |

Explanation

माना ` y = f ( x ) ` अथवा ` y = 3 - 2 x - x ^ 2 `

निम्न सारणी x के विभिन्न मानो के लिए बहुपद ` y = 3 - 2x - x ^ 2 ` के विभिन्न मान दर्शाती है :

बिंदुओं ` ( - 5, - 12 ) , ( -4, - 5 ) , ( - 3, 0 ) , ( - 2, 3 ) , ( - 1, 4 ) , ( 0, 3 ) , ( 1, 0 ) , ( 2, - 5 ) , ( 3, - 12 ) ` और ` ( 4, - 21 ) ` को आलेख पेपर पर अंकित करके इनसे गुजरने वाला वक्र खींचते है जो एक चित्र में दर्शाया गया है | स्पष्ट है कि यह एक परवलय के रूप में है | इस परवलय पर उच्चतम बिंदु ` P ( - 1, 4 ) ` है जिसे परवलय का शीर्ष कहते है | शीर्ष से गुजरने वाली उर्ध्वाधर रेखा इस परवलय का अक्ष कहलाती है |
प्रेक्षण : हम बहुपद ` f ( x ) = 3 - 2x - x ^ 2 ` के आलेख से निम्न निष्कर्ष निकलते है |
(i) बहुपद ` f ( x ) = 3- 2x - x ^ 2 ` में, ` x ^ 2 ` का गुणांक -1 है जो कि ऋणात्मक वास्तविक संक्ख्या है | अतः परवलय नीचे की ओर खुलता है |
(ii) बहुपद ` f ( x ) = 3 - 2x - x ^ 2 = ( 1 - x ) ( x + 3 ) ` के दो भिन्न- भिन्न रैखिक गुणनखंड ` ( 1 - x ) ` और ` ( x + 3 ) ` है | अतः परवलय दो विभिन्न बिंदुओं ` ( 1, 0) ` और ` ( -3, 0 ) ` पर x - अक्ष को प्रतिच्छेद करता है | इन बिंदुओं के x - निर्देशांक ` f ( x ) ` के शून्यक है |
(iii) बहुपद ` f ( x ) = 3 - 2 x - x^ 2 ` के - 3 और 1 दो भिन्न - भिन्न शून्यक है | अतः परवलय ` y = 3 - 2x - x ^ 2 ` दो भिन्न - भिन्न बिंदुओं पर x - अक्ष को काटता है |
(iv) बहुपद ` 3 - 2x - x ^ 2 ` की तुलना ` ax ^ 2 + bx + c ` से करने पर ` a = - 1, b = - 2 ` और ` c = 3 ` प्राप्त करते है | परवलय का शीर्ष बिंदु ` ( -1, 4 ) ` अर्थात ` ((-b ) /( a ) , ( - D) /( 4a ) ) ` है, जहाँ ` D = b ^ 2 - 4ac ` है |
(v) ` D = b ^ 2 - 4ac = 4 + 12 = 16 gt 0 ` है | अतः परवलय x - अक्ष को दो भिन्न - भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है |