बहुपद ` f ( x ) = x ^ 2 - 6x + 9` का आलेख खींचिये |

Explanation

माना ` y = x ^ 2 - 6x - 9 `
निम्न सारणी x के विभिन्न मानो के लिए y अथवा ` f ( x ) ` के मान दर्शाती है :

का आलेख बिंदुओं ` ( -2, 25 ), ( - 1, 16) , ( 0 , 9) , (1, 4) , ( 2, 1 ) , ( 3,0 ) (4, 1 ) , ( 5, 4 ) , (6, 9) , ( 7, 16) ` और ` (8, 25 ) ` से गुजरता है | इन बिंदुओं को आलेख पेपर पर अंकित करके इनसे गुजरने वाला वक्र खींचते है जो के बहुपद ` f ( x ) = x ^ 2 - 6x + 9 ` का आलेख निरूपित करता है | स्पष्ट है बहुपद का आलेख एक परवलय के रूप में है | हम देखते है कि परवलय का शीर्ष बिंदु ` P ( 3, 0 ) ` पर है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है |

प्रेक्षण : बहुपद ` f ( x ) = x ^ 2 - 6x + 9 ` के ग्राफ ( आलेख ) से, हम निम्न निष्कर्ष निकलते है :
(i) बहुपद ` f ( x ) = x ^ 2 - 6x + 9 ` में `x ^2 ` का गुणांक 1 है जोकि एक धनात्मक संख्या है , अतः परवलय ऊपर की ओर खुलता है |
(ii) बहुपद ` f ( x ) = x ^ 2 - 6x + 9 = ( x - 3) ^ 2 ` के दोनों गुणनखण्ड समान है तथा प्रत्येक ` ( x - 3 ) ` के बराबर है | अतः परवलय `y = x ^ 2 - 6x + 9 , x ` अक्ष को एक बिंदु (3 ,0 ) पर स्पर्श करता है | दूसरे शब्दों में ` y = x^ 2 - 6x + 9 ` x अक्षो को बिंदु ` (3, 0 ) ` पर स्पर्श करता है | अतः बहुपद के दो समान शून्यक ( zeros ) है |
(iii) बहुपद ` f ( x ) = x ^ 2 - 6x + 9 ` के दोनों शून्यक 3 के बराबर है | इसलिए परवलय `y = x^ 2 - 6x + 9`, x - अक्ष को बिंदु ` (3 ,0 )` पर स्पर्श करता है |
(iv) बहुपद ` x ^ 2 - 6x + 9 ` की ` ax^ 2 +bx + c` , से तुलना करने पर, ` a = 1, b = - 6 ` तथा c = 9 प्राप्त होते है | परवलय का शीर्ष (3, 0 ) अर्थात ` ( ( - b ) /( 2a ) , ( -D) /( 4a )) ` है, जहाँ, ` D = b^ 2 - 4a c ` है |
(v) चूँकि ` D = b ^ 2 - 4a c = 36 - 36 = 0 ` है | अतः परवलय x - अक्ष को स्पर्श करता है | `