बहुपद `3x ^ 2 + 2x - 1 =0` को हल कीजिए ।

Explanation

माना ` y = f ( x ) ` अथवा ` y = -3x ^ 2 + 2x- 1 `
` x` के विभिन्न मानो के लिए y के मान नीचे दी गयी सारणी में अंकित है |

अतः ` y = - 3x ^ 2 + 2 x - 1 ` का आलेख बिंदुओं ` ( - 4, -57 ) , ( - 3, - 34 ) , ( - 2, - 17 ) , ( -1, -6 ) , ( 0, - 1 ) , ( 1, - 2 ) , ( 2, - 9) , ( 3, - 26 ) ` और ` ( 4, -41 ) ` से होकर गुजरता है |
अब ग्राफ पेपर पर इन बिंदुओं को अंकित करके इनसे गुजरने वाला वक्र खींचते है | इस प्रकार प्राप्त वक्र चित्र में दर्शाया गया है |

प्रेक्षण : बहुपद ` f ( x ) = -3x ^ 2 + 2x - 1 ` के आलेख से निम्न निष्कर्ष निकलते है |
(i) बहुपद ` f ( x) = - 3x^ 2 + 2x - 1 ` में ` x^ 2 ` का गुणांक -3 , अर्थात ऋणात्मक वास्तविक संख्या है अतः परवलय नीचे की ओर खुलता है |
(ii) बहुपद ` f ( x ) = - 3x ^ 2 + 2x - 1 ` के गुणनखण्ड नहीं हो सकते है | अतः परवलय x - अक्ष को स्पर्श नहीं करता है और न ही x - अक्ष को काटता है |
(iii) बहुपद ` f ( x ) = - 3x ^ 2 + 2x - 1 ` के कोई वास्तविक शून्यक नहीं है इसलिए परवलय x - अक्ष को न तो स्पर्श करता है और न ही x - अक्ष को काटता है |
(iv) बहुपद ` f ( x ) ` के सभी मान ऋणात्मक है क्योंकि परवलय नीचे की ओर खुलता है और x - अक्ष के नीचे रहता है |
(v) बहुपद ` f ( x ) = - 3x ^ 2 + 2x - 1 ` की ` ax ^ 2 + bx + c`, से तुलना करने पर `a = - 3 , ` और ` c = -1 ` पाते है | परवलय का शीर्ष ` (( - b ) /( 2a ) , ( -D) /( 4a))` अर्थात ` ((1 ) /( 3 ), ( - 2 ) /( 3 )) ` है , जहाँ ` D = b^ 2 - 4ac ` है |